Garis
Singgung Lingkaran
Review gradien dan garis
lurus
Sebelum lanjut pada
materi garis singgung
lingkaran, apakah anda masih ingat dengan pengertian
istilah-istilah berikut ini:
-gradien
-persamaan garis lurus
-garis singgung
Gradien
Gradien
adalah ukuran besarnya kemiringan suatu garis terhadap garis mendatar. Besar
gradien merupakan besar perubahan panjang vertikal tiap satuan perubahan panjang
mendatar. Umumnya, gradien dilambangkan dengan m. Tentukan gradien dari
beberapa garis dibawah ini:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gradien
garis yang melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2)
Contoh
1. Tentukan
gradient garis yang melalui
a. (3, 1) dan (4, 4)
b. (-2, -5) dan (8, -7)
Jawab
a. gradient
b. gradient
Garis Lurus
Sebelum
masuk ke materi garis singgung, kita akan mengulang sepintas tentang garis
lurus dan aljabar.
Persamaan
umum garis lurus :ax + by + c = 0 atau y = mx + n
a,b,c
adalah konstanta
m adalah
kemiringan garis
n adalah
koordinat y ketika x = 0
Persamaan Garis Singgung
Dengan
rearrange persamaan untuk gradien diatas dan subtitution y = y2, x =
x2, maka akan diperoleh persamaan garis singgung, gradien m dan
melalui titik (x1, y1) sebagai berikut
y = m(x - x1)
+ y1 atau y = mx + y1- mx1
Contoh
1.Tentukan
persamaan garis singgung sebagai berikut:
a. melalui
titik (2,-3) dan bergradien 2.
b. melalui
titik (-1, 1) dan bergradien -3.
Jawab
a. y = 2x –
3 +4
y = 2x + 1
b. y = -3x +
1 - 3
y = -3x - 2
Apabila
hanya diketahui dua titik yang dilalui garis misal (x1, y1)
dan (x2, y2)
Gradien
yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2)
Subtitusi
persamaan gradien ini ke persamaan garis lurus, sehingga diperoleh
Contoh
2.Tentukan
persamaan garis singgung sebagai berikut:
a. melalui titik (2,-3) dan
(1,-4).
b. melalui titik (-1, 1) dan
(-3,-3).
Jawab
a.
b.
Latihan
1. Membuat
sketsa garis lurus
a. Buatlah
sketsa garis lurus 2x + 4y = 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b. Buatlah
sketsa garis lurus 2x + 4y = 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c. Buatlah
sketsa garis lurus 2x + 4y = 8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d. Buatlah
sketsa garis lurus 2x - y = 6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e. Buatlah
sketsa garis lurus 3x - 2y = 12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.
Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini
a. y = 2x + 5 ( m = 2 )
b. y = 4x + 4 ( m = 4 )
c. y = -5x + 15 ( m = -5 )
d. y = -2/3x – 20 ( m = -2/3 )
e. y = -2/5x – 25 ( m = -2/5 )
2.
Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini
a. 2x - 3y + 5 = 0 (y =
2/3 x + 5 ) m = 2/3
b. 2x + 6y + 5 = 0 ( m = -1/3 )
c. 4x - 2y + 7 = 0
d. 3x - 6y + 8 = 0
e. 2x - 8y + 11 = 0
2.
Tentukanlah gradien garis lurus yang melalui dua titik berikut ini
a. melalui titik (-3, 2) dan
titik (-3, 2)
b. melalui titik (1, -3) dan
titik (3, 5)
c. melalui titik (6, -10) dan
titik (-4, -5)
d. melalui titik (-1, -3) dan
titik (-2, 2)
e. melalui titik (-3, -1) dan
titik (-7, 7)
3.
Tentukanlah persamaan garis lurus berikut ini
a. melalui titik (1, -3) dan
bergradien 1
b. melalui titik (2, 2) dan
bergradien -2
c. melalui titik (-3, 4) dan
bergradien 2/3
d. melalui titik (5, -2) dan
bergradien 3/4
e. melalui titiik (10, -6) dan
bergradien -4
4.
Tentukanlah persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis
a. 3x + 4y - 6 = 0 pada titik
(10,5)
c. x + 4y - 10 = 0
d. 3x + 2y + 9 = 0
e. x - 2y - 5 = 0
5.
Tentukanlah persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis
b. 3x - y - 16 = 0
c. 3x + 2y - 8 = 0 pada titik (10,5)
d. x + 4y - 9 = 0
e. x - 4y - 12 = 0
Review aljabar
6. Sederhanakan!
a. a + b + 2a + 3b -4a + a =….
b. 5x + 2y - 6x + y -3x + 4y =….
c. 2a2 + b3 + 2a2 +
3b3 –a2 + 3b2 =….
d. 3ab – 2ac + 4ab + 3ac -6ab + 10ac =….
e. 6abc – 2acd - 10abc + 3acd + 5abc - 12acd =….
f. 10xyz – 5xym – 10xyz + 7xym - 15xyz – 2xym =….
7. Sederhanakan!
a. 3a2b – 2ac2 + 4a2b
+ 3ac2 -6a2b + 10ac2 =….
b. 6xy2 + 2x3z - 6xy2
+ 10x3z -3xy2 =…
c. 11pq2 + 7p3r – 6pq2
- 12p3r -3pq2 =…
d. 4m3n4 + 13 m2n4
– 3 m3n4 - 12 m2n4 -6 m3n4
=…
e. 4m3n4 + 13 m2n4
– 3 m3n4 - 12 m2n4 -6 m3n4
=…
f. 25x2y3z – 15xy2z3
– 10x2y3z + 17xy2z3 - 15x2y3z
– 18xy2z3 =….
8. Isilah
titik-titik dibawah ini!
a. (a + b)2 =….
b. (a - b)2 =….
c. (p + q)2 =….
d. (p - q)2 =….
e. (x + y)2 =….
f. (x - y)2 =….
9. Isilah
titik-titik dibawah ini!
a. (2a + 3b)2 =….
b. (2a - 4b)2 =….
c. (3m + 2n)2 =….
d. (4p - q)2 =….
e. (x + 3y)2 =….
f. (x - 5y)2 =….
10. Isilah
titik-titik dibawah ini!
a. (a + b)3 =….
b. (a - b)3 =….
c. (m + n)3 =….
d. (p - q)3 =….
e. (x + y)3 =….
f. (x - y)3 =….
Diketahui Gradien Garis Singgung
Apabila
diketahui gradien garis singgungnya misalnya m, maka akan ada dua persamaan
garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (0, 0)
O (0,
0)
|
x
|
y
|
m
|
m
|
Persamaan
garis singgung tersebut dapat dicari sebagai berikut:
Persamaan
garis singgung: y = mx + n
Persamaan
lingkaran: x2 + y2
= r2
Substitusikan
y = mx + n kedalam x2 + y2
= r2
x2
+ (mx + n)2 = r2
x2
+ m2x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0
(1+ m2)x2
+ 2mnx + n2 - r2 = 0
kasus
menyinggung berarti D = 0
b2
- 4ac = 0
(2mn)2
- 4 (1 + m2)(n2 - r2) = 0
4m2n2
- 4(n2 - r2 + m2n2 - m2r2)
= 0
m2n2
- n2 + r2 - m2n2 + m2r2
= 0
-n2
+ r2 + m2r2 = 0
n2
= r2 + m2r2
Maka
persamaan garis singgungnya:
Apabila
lingkarannya berpusat di (a, b):
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
maka
persamaan garis singgungnya:
Diketahui Titik Singgung Pada Lingkaran
Garis
yang melalui titik (x1,y1) dan menyinggung lingkaran yang berpusat
di titik O
P (x1,
y1)
|
O (0,
0)
|
l
|
x
|
y
|
Dari gambar diatas tampak
bahwa garis OP dan garis l saling
tegak lurus.
misal m1 adalah
gradient garis OP:
dan m2 adalah
gradient garis l maka
Persamaan garis singgungnya:
Dengan cara
yang sama seperti cara diatas maka garis singgung melalui titik (x1, y1) dan menyinggung lingkaran yang berpusat
di titik (a, b)
Cara lain
menurunkan persamaan garis singgung yang malalui titik (x1, y1)
pada lingkaran:
Persamaan
garis singgung: y = m(x - x1) + y1
Persamaan
Lingkarang : x2 + y2 = r2
Gabungan
kedua persamaan ini adalah
Syarat
bersinggungan: D = 0
b2
- 4ac = 0
Persamaan garis singgungnya:
Contoh-contoh
soal
1.
Tunjukkan bahwa titik P (6,-8) terletak pada lingkaran x2 + y2
= 100
Jawab
Titik P
(6,-8) berarti x = 6 dan y = -8 kemudian substitusikan ke x2 + y2
62
+ (-8)2 = 36 + 64 = 100 karena hasilnya 100 berarti titik P terletak
pada lingkaran
2. Tentukan
persamaan garis singgung yang melalui titik A (0, -10) pada lingkaran (x - 3)2
+ (y + 5)2 = 36
Jawab
Titik A (0,
-10) berarti x1 = 0 dan y1 = -10
Persamaan
lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36
Persamaan
garis singgungnya:
(x - 3) (x1
- 3) + (y + 5) (y1 + 5) = 36
(x - 3) (0
- 3) + (y + 5) (-10 + 5) = 36
-3(x - 3) -5(y + 5) = 36
-3x + 9 -
5y - 25 - 36 = 0
3x + 5y +
42 = 0
3. Tentukan persamaan garis singgung yang
melalui titik P (2, 1) pada lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y -
5 = 0
Jawab
P (2, 1)
berarti x1 = 2 dan y1 = 1
Persamaan
lingkaran: x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
Persamaan
garis singgung:
4. Tentukan
persamaan garis singgung dengan gradient -2 pada lingkaran x2 + y2
= 16!
Jawab
m = -2, r =
4
persamaan
garis singgung:
Jadi persamaan garis singgung
lingkaran:
5. Tentukan
persamaan garis singgung dengan gradient 3 pada lingkaran (x + 2)2 +
(y - 3)2 = 25!
Jawab
m = 3, r =
5, a = -2, b = 3
persamaan
garis singgung :
6. Tentukan
persamaan garis singgung pada lingkaran
(x - 4)2 + (y + 5)2 = 36 dan tegak lurus dengan garis ½x
– y = 10!
Jawab
Garis ½x –
y = 10 memiliki gradient m1 = ½
karena
tegak lurus maka
m1× m2 = -1
1/2 × m2 = -1
m2
= -2
jadi
gradien garis singgung yang kita cari adalah -2.
a = 4, b =
-5, r = 6
Latihan
X2 + y2 =
25 contoh
x.x +
y.y = 25 bagian ( a)
3.x +
4.y = 25
3x + 4y
= 25
|
a. 3x + 4y = 25
b.
-3x + 4y = 25
c.
|
b. (-3, 4)
c. (2,
)
d. (
, -2)
e. (-
, -1)
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)2
+ (y + 5)2 = 36 yang melalui titik
a. (2, -5+
)
b. (2, -5-
)
c. (3+
, -1)
d. (3-
, -1)
e. (3, 1)
3. Tentukan
persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y - 5
= 0 yang melalui titik
a. (2, 1)
b. (2, -5)
c. (4, -1)
d. (-2, -1)
e. (1,
)
4.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16
yang memiliki gradien
a. m = 3
b. m = -2
c. m = 3
d. m = 3/4
e. m = -1/2
5.
Tentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 dengan gradien
a. m = 3
b. m = 5
c. m = -3
d. m = 3/5
e. m = -1/4
6.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2
= 36 dan sejajar dengan garis
a. 2x –8y = 6
b. x – 3y = 8
c. 2x + 5y = 10
d. 6x – 3y = 18
e.4x + 5y = 20
7.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2
= 36 dan tegak lurus dengan garis
a. 15x –5y = 7
b. 4x – 2y = 3
c. 2x – y = 5
d. 3x –2y = 10
e. 6x –3y = 5
8.
Persamaan garis singgung x2
+ y2 + 10x - 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9, 1) adalah…
9.
Tentukanlah jarak terdekat titik (6,
10) ke lingkaran x2 + y2 = 25 !
10.
Tentukanlah jarak terdekat titik (2, 3)
ke lingkaran x2 + y2 = 25 !
11.
Tentukanlah jarak terdekat titik (-3,
-8) ke lingkaran x2 + y2
+ 4x -2y - 16 = 0 !
12.
Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, 4)
ke lingkaran x2 + y2
+ 4x -2y - 16 = 0 !
13.
Salah satu persamaan garis singgung pada
lingkaran (x - 2)2 + (y + 1)2 = 13 yang memiliki berabsis
-1 adalah….
14.
Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2 -2x + 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x - y = 0 adalah…
15.
Garis singgung lingkaran dititik (2,-5)
pada lingkaran x2 + y2 =169 menyinggung lingkaran lain
yang memiliki persamaaan (x - 5)2
+ (y - 12)2 = p. Tentukanlah nilai p !
16.
Tentukanlah persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (3,1) dan menyinggung garis 3x + 4 y + 7 = 0 !
Tidak ada komentar:
Posting Komentar