Kamis, 29 November 2012

Garis Singgung Lingkaran


Garis Singgung Lingkaran

Review gradien dan garis lurus
Sebelum lanjut pada materi garis singgung lingkaran, apakah anda masih ingat dengan pengertian istilah-istilah berikut ini:
-gradien
-persamaan garis lurus
-garis singgung

Gradien
Gradien adalah ukuran besarnya kemiringan suatu garis terhadap garis mendatar. Besar gradien merupakan besar perubahan panjang vertikal tiap satuan perubahan panjang mendatar. Umumnya, gradien dilambangkan dengan m. Tentukan gradien dari beberapa garis dibawah ini:






b


d

e


a






c




































f


h

i










g







j

k



































y


















(x2, y2)












































(x1, y1)





















x























Gradien garis yang melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2)
Contoh
1. Tentukan gradient garis yang melalui
a. (3, 1) dan (4, 4)
b. (-2, -5) dan (8, -7)
Jawab
a. gradient  
b. gradient  

Garis Lurus
Sebelum masuk ke materi garis singgung, kita akan mengulang sepintas tentang garis lurus dan aljabar.
Persamaan umum garis lurus :ax + by + c = 0  atau  y = mx + n
a,b,c adalah konstanta
m adalah kemiringan garis
n adalah koordinat y ketika x = 0

Persamaan Garis Singgung
Dengan rearrange persamaan untuk gradien diatas dan subtitution y = y2, x = x2, maka akan diperoleh persamaan garis singgung, gradien m dan melalui titik (x1, y1) sebagai berikut
y = m(x - x1) + y1 atau y = mx + y1- mx1
Contoh
1.Tentukan persamaan garis singgung sebagai berikut:
a. melalui titik (2,-3) dan bergradien 2.
b. melalui titik (-1, 1) dan bergradien -3.
Jawab
a. y = 2x – 3 +4
    y = 2x + 1
b. y = -3x + 1 - 3
    y = -3x - 2

Apabila hanya diketahui dua titik yang dilalui garis misal (x1, y1) dan (x2, y2)
Gradien yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2)
Subtitusi persamaan gradien ini ke persamaan garis lurus, sehingga diperoleh
Contoh
2.Tentukan persamaan garis singgung sebagai berikut:
     a. melalui titik (2,-3) dan (1,-4).
     b. melalui titik (-1, 1) dan (-3,-3).
Jawab
a.
   
     
b.  
     









Latihan
1. Membuat sketsa garis lurus
a. Buatlah sketsa garis lurus 2x + 4y = 4

















































































b. Buatlah sketsa garis lurus 2x +  4y = 5

















































































c. Buatlah sketsa garis lurus 2x +  4y = 8







































































d. Buatlah sketsa garis lurus 2x - y = 6

















































































e. Buatlah sketsa garis lurus 3x -  2y = 12

















































































2. Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini
     a. y = 2x + 5           ( m = 2 )
     b. y = 4x + 4           ( m = 4 )
     c. y = -5x + 15        ( m = -5 )
     d. y = -2/3x – 20     ( m = -2/3 )
     e. y = -2/5x – 25     ( m = -2/5 )
2. Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini
     a. 2x - 3y + 5 = 0     (y = 2/3 x + 5 ) m = 2/3
     b. 2x + 6y + 5 = 0   ( m = -1/3 )
     c. 4x - 2y + 7 = 0
     d. 3x - 6y + 8 = 0
     e. 2x - 8y + 11 = 0
2. Tentukanlah gradien garis lurus yang melalui dua titik berikut ini
     a. melalui titik (-3, 2) dan titik (-3, 2)
     b. melalui titik (1, -3) dan titik (3, 5)
     c. melalui titik (6, -10) dan titik (-4, -5)
     d. melalui titik (-1, -3) dan titik (-2, 2)
     e. melalui titik (-3, -1) dan titik (-7, 7)
3. Tentukanlah persamaan garis lurus berikut ini
     a. melalui titik (1, -3) dan bergradien 1
     b. melalui titik (2, 2) dan bergradien -2
     c. melalui titik (-3, 4) dan bergradien 2/3
     d. melalui titik (5, -2) dan bergradien 3/4
     e. melalui titiik (10, -6) dan bergradien -4
4. Tentukanlah persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis
     a. 3x + 4y - 6 = 0 pada titik (10,5)
     b. 3x + y + 8 = 0
     c. x + 4y - 10 = 0
     d. 3x + 2y + 9 = 0
     e. x - 2y - 5 = 0
5. Tentukanlah persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis
     a. 3x - 4y - 10 = 0
     b. 3x -  y - 16 = 0
     c. 3x + 2y - 8 = 0                pada titik (10,5)
     d. x + 4y - 9 = 0
    e. x - 4y - 12 = 0

Review aljabar
6. Sederhanakan!
a. a + b + 2a + 3b -4a + a  =….
b. 5x + 2y - 6x + y -3x + 4y  =….
c. 2a2 + b3 + 2a2 + 3b3 –a2 + 3b2  =….
d. 3ab – 2ac + 4ab + 3ac -6ab + 10ac  =….
e. 6abc – 2acd - 10abc + 3acd + 5abc - 12acd  =….
f. 10xyz – 5xym – 10xyz + 7xym - 15xyz – 2xym  =….
7. Sederhanakan!
a. 3a2b – 2ac2 + 4a2b + 3ac2 -6a2b + 10ac2  =….
b. 6xy2 + 2x3z - 6xy2 + 10x3z -3xy2 =…
c. 11pq2 + 7p3r – 6pq2 - 12p3r -3pq2 =…
d. 4m3n4 + 13 m2n4 – 3 m3n4 - 12 m2n4 -6 m3n4 =…
e. 4m3n4 + 13 m2n4 – 3 m3n4 - 12 m2n4 -6 m3n4 =…
f. 25x2y3z – 15xy2z3 – 10x2y3z + 17xy2z3 - 15x2y3z – 18xy2z3 =….
8. Isilah titik-titik dibawah ini!
a. (a + b)2  =….
b. (a - b)2  =….
c. (p + q)2  =….
d. (p - q)2  =….
e. (x + y)2  =….
f. (x - y)2  =….
9. Isilah titik-titik dibawah ini!
a. (2a + 3b)2  =….
b. (2a - 4b)2  =….
c. (3m + 2n)2  =….
d. (4p - q)2  =….
e. (x + 3y)2  =….
f. (x - 5y)2  =….
10. Isilah titik-titik dibawah ini!
a. (a + b)3  =….
b. (a - b)3  =….
c. (m + n)3  =….
d. (p - q)3  =….
e. (x + y)3  =….
f. (x - y)3  =….
Diketahui Gradien Garis Singgung
Apabila diketahui gradien garis singgungnya misalnya m, maka akan ada dua persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (0, 0)
O (0, 0)
x
y
m
m
 












Persamaan garis singgung tersebut dapat dicari sebagai berikut:
Persamaan garis singgung:  y = mx + n
Persamaan lingkaran:  x2 + y2 = r2
Substitusikan y = mx + n kedalam  x2 + y2 = r2
x2 + (mx + n)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0
(1+ m2)x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0
kasus menyinggung berarti D = 0
b2 - 4ac = 0
(2mn)2 - 4 (1 + m2)(n2 - r2) = 0
4m2n2 - 4(n2 - r2 + m2n2 - m2r2) = 0
m2n2 - n2 + r2 - m2n2 + m2r2 = 0
-n2 + r2 + m2r2 = 0
n2 = r2 + m2r2
Maka persamaan garis singgungnya:
Apabila lingkarannya berpusat di (a, b):
 (x - a)2 + (y - b)2 = r2
maka persamaan garis singgungnya:

Diketahui Titik Singgung Pada Lingkaran
Garis yang melalui titik (x1,y1) dan menyinggung lingkaran yang  berpusat di titik O
P (x1, y1)
O (0, 0)
l
x
y
 












Dari gambar diatas tampak bahwa garis OP dan garis l saling tegak lurus.
misal m1 adalah gradient garis OP:
dan m2 adalah gradient garis l maka
                                                  
Persamaan garis singgungnya:
Dengan cara yang sama seperti cara diatas maka garis singgung melalui titik (x1, y1) dan menyinggung lingkaran yang  berpusat di titik (a, b)
  ( tugas : jabarkan / buktikan)

Cara lain menurunkan persamaan garis singgung yang malalui titik (x1, y1) pada lingkaran:
Persamaan garis singgung: y = m(x - x1) + y1
Persamaan Lingkarang : x2 + y2 = r2
Gabungan kedua persamaan ini adalah
 
Syarat bersinggungan: D = 0
b2 - 4ac = 0




Persamaan garis singgungnya:

Contoh-contoh soal
1. Tunjukkan bahwa titik P (6,-8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100
Jawab
Titik P (6,-8) berarti x = 6 dan y = -8 kemudian substitusikan ke x2 + y2
62 + (-8)2 = 36 + 64 = 100 karena hasilnya 100 berarti titik P terletak pada lingkaran
2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A (0, -10) pada lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36
Jawab
Titik A (0, -10) berarti x1 = 0 dan y1 = -10
Persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36
Persamaan garis singgungnya:  
(x - 3) (x1 - 3) + (y + 5) (y1 + 5) = 36
(x - 3) (0 - 3) + (y + 5) (-10 + 5) = 36
-3(x - 3) -5(y + 5) = 36                                                                                                     
-3x + 9 - 5y - 25 - 36 = 0
3x + 5y + 42 = 0
3.  Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (2, 1) pada lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
Jawab
P (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 = 1
Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
Persamaan garis singgung:
4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient -2 pada lingkaran x2 + y2 = 16!
Jawab
m = -2, r = 4
persamaan garis singgung:
Jadi persamaan garis singgung lingkaran:
5. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 3 pada lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25!
Jawab
m = 3, r = 5, a = -2, b = 3
persamaan garis singgung :
 
6. Tentukan persamaan garis singgung  pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2 = 36 dan tegak lurus dengan garis ½x – y = 10!
Jawab
Garis ½x – y = 10 memiliki gradient m1 = ½
karena tegak lurus  maka
m1× m2 = -1
1/2 × m2 = -1
m2 = -2
jadi gradien garis singgung yang kita cari adalah -2.
a = 4, b = -5, r = 6


Latihan
X2 + y2 = 25          contoh
x.x + y.y = 25      bagian ( a)
3.x + 4.y = 25
3x + 4y = 25
a.       3x + 4y = 25
b.      -3x + 4y = 25
c.        
1.     Tentukan persamaan garis singgung  lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik
a. (3, 4)                                                                                                               
b. (-3, 4)
c. (2, )
d. ( , -2)
e. (- , -1)

2.     Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36 yang melalui titik
a. (2, -5+ )
b. (2, -5- )
c. (3+ , -1)
d. (3- , -1)
e. (3, 1)

3.     Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0 yang melalui titik
a. (2, 1)
b. (2, -5)
c. (4, -1)
d. (-2, -1)
e. (1, )

4.     Tentukan persamaan garis singgung  lingkaran x2 + y2 = 16 yang memiliki gradien
a. m = 3
b. m = -2
c. m = 3
d. m = 3/4
e. m = -1/2

5.     Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 dengan gradien
a. m = 3
b. m = 5
c. m = -3
d. m = 3/5
e. m = -1/4

6.     Tentukan persamaan garis singgung  pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2 = 36 dan sejajar dengan garis
a. 2x –8y = 6
b. x – 3y = 8
c. 2x + 5y = 10
d. 6x – 3y = 18
e.4x + 5y = 20
7.     Tentukan persamaan garis singgung  pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2 = 36 dan tegak lurus dengan garis
a. 15x –5y = 7
b. 4x – 2y = 3
c. 2x – y = 5                                        
d. 3x –2y = 10
e. 6x –3y = 5
8.     Persamaan garis singgung x2 + y2 + 10x - 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9, 1) adalah…
9.     Tentukanlah jarak terdekat titik (6, 10) ke lingkaran  x2 + y2  = 25 !
10.   Tentukanlah jarak terdekat titik (2, 3) ke lingkaran  x2 + y2  = 25 !
11.   Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, -8) ke lingkaran  x2 + y2 + 4x -2y - 16 = 0 !
12.   Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, 4) ke lingkaran  x2 + y2 + 4x -2y - 16 = 0 !
13.   Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)2 + (y + 1)2 = 13 yang memiliki berabsis -1 adalah….
14.   Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 -2x + 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x - y = 0  adalah…
15.   Garis singgung lingkaran dititik (2,-5) pada lingkaran x2 + y2 =169 menyinggung lingkaran lain yang memiliki persamaaan   (x - 5)2 + (y - 12)2 = p. Tentukanlah nilai p !
16.   Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,1) dan menyinggung garis 3x + 4 y + 7 = 0 !


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar