My Pictures

Yanti Pictures

PERJALANANHIDUP MENUJU GURU MATEMATIKA

Biografi Pribadi

 

Nama   : Yanti Nenobahan

NIM    : 10010110043

Program Studi Pendidikan Matematika

Saya lahir dari pasangan keluarga yang sederhana yaitu Isak Nenobahan dan Marince Kelin pada 19 Juni 1991. Saya memiliki 3 saudara perempuan dan 1 saudara laki-laki, dan saya adalah anak ke-4. Tempat tinggal keluarga saya jauh dari kota yaitu di Oelpahat, Desa Olenaineno, kecamatan Takari.

Saya mulai menempuh studi pada jenjang Sekolah Dasar (SD) pada tahun 1998 di SD Impres Nefoneke. Saya selalu diajarkan menulis, membaca dan berhitung oleh kedua orang tua saya. Pada waktu itu, di sekolah saya terdapat 6 pengajar, terdiri dari 1 pengajar untuk  kelas I dan kelas II, kelas III, IV, V, dan kelas VI masing-masing 1 pengajar dan Kepala Sekolah. Saya dan teman-teman kelas yang rumahnya berdekatan membentuk kelompok belajar malam. Setiap malam selalu ada belajar kelompok di rumah saya, karena dibimbing, dibantu oleh kedua orangtua saya walaupun profesi mereka bukan guru. Ibu saya selalu membuat soal-soal perhitungan baik penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk dikerjakan.

Proses pembelajaran di sekolah pun belum maksimal dikarenakan terbatasnya pengajar. Bila ada guru yang tidak hadir, maka proses pembelajaran di kelas guru tersebut tidak berjalan. Hal tersebut mulai menyadarkan saya bahwa sangatlah penting untuk menjadi guru, tapi belum terpikirkan apakah kelak saya akan menjadi guru di bidang apa, karena yang terpenting adalah menjadi seorang guru. Sejak itu saya selalu semangat belajar hingga menyelesaikan studi jenjang SD pada tahun 2004.

Setelah lulus SD, orangtua mendukung saya melanjutkan pendidikan ke jenjang SMP (Sekolah Menengah Pertama) di SMP N 2 Takari yang bertempat di Hueknutu. Saya harus terus belajar dengan tekun untuk mendapat beasiswa agar dibebaskan dari uang sekolah. Hal ini karena oangtua tidak mempunyai biaya yang cukup untuk membayar iuran sekolah. Ternyata dengan tekun belajar, saya juga termasuk salah satu siswa yang cukup berprestasi sehingga mendapat beasiswa dan tidak lagi harus membayar iuran sekolah. Di sekolah saya mendapat seorang guru matematika yang bernama Simon Gasang. Beliau selalu bersemangat dalam mengajarkan matematika dan terus memotivasi siswa-siswa yang dididiknya untuk terus giat belajar. Menjelang Ujian Nasional (UN), saya diberi tantangan oleh guru saya, bahwa mampukah saya mendapat nilai tertinggi pada UN mata pelajaran Matematika. Pada saat itu dengan yakin saya katakan, “saya pasti bisa Pak”. Tapi setelah mendengar pengumuman kelulusan, ternyata bukan saya yang mendapat nilai tertinggi dalam UN Matematika. Ada kekecewaan dan rasa malu dalam diri saya ketika bertemu guru saya untuk meminta maaf dan mengucapkan terima kasih, tapi guru saya berkata bahwa bila kamu masih ingin mendapat nilai tertinggi di matematika, tidak bolah putus asa, terus giat belajar dan kamu harus mengambil jurusan MIPA di SMA.

Lulus dari SMP tahun 2007, saya melanjutkan pendidikan ke jenjang SMA (Sekolah Menengah Atas) di SMA N 1 Fatuleu yang bertempat di Oelmasi, Kupang Timur. Sekolah tersebut merupakan sekolah Kabupaten jadi tidak dipungut biaya sedikitpun. Di sekolah tersebut terdapat beberapa guru matematika. Salah satu dari mereka yang mengajar dikelas saya tidak membuat saya kesulitan dalam belajar. Artinya bahwa apa yang diajarkanya pada saat itu mampu saya pahami walaupun mungkin materinya pada saat itu tingkat kesulitannya rendah atau sedang. Seringkali saya juga mengalami kesulitan, tapi dengan semangat belajar yang terus saya lakukan, saya tidak melihat kesulitan yang dialami sebagai suatu hambatan. Dikelas saya juga ada beberapa teman yang lebih berprestasi dari saya. Namun saya tidak pernah merasa minder dalam kelas, terus giat belajar sehingga saya juga termasuk salah satu siswa yang berprestasi juga. Pada suatu saat itu saya dan teman-teman yang mendapat peluang mengikuti Lomba mata pelajaran MIPA tingkat kabupaten. Setelah mengikuti lomba, saya mendapat urutan ke-3 dalam Mata pelajaran Kimia dan bisa mengikuti lomba selanjutnya untuk tingkat Propinsi. Saya sangat senang walaupun bukan mata pelajaran Matematika, tetapi saya berpikir bahwa suatu saat nanti saya pasti bisa dalam Matematika. Setelah mengikuti seleksi tingkat propinsi ternyata saya tidak berhasil, tetapi saya terus giat belajar hingga pada akhirnya saya lulus SMA.

Lulus dari SMA pada tahun 2010, saya mengikuti tes/seleksi masuk ke salah satu universitas di kupang yaitu UNDANA (Universitas Nusa Cendana) Kupang. Pada saat seleksi saya memilih jurusan PGSD dan FMIPA. Setelah mendengar pengumuman hasil seleksi, ternyata saya tidak lulus tes. Pada saat itu saya tidak tahu apa yang harus saya buat. Akhirnya saya memutuskan untuk kursus komputer dan bahasa inggris, dan akan mengikuti seleksi lagi masuk UNDANA pada tahun berikutnya. Tetapi menjelang beberapa hari kemudian, ada berita/pengumuman di Radio bahwa telah dibuka pendaftaran bagi yang mau berminat untuk Sekolah Guru di STKIP Surya Tangerang. 

Saya mendaftar dan ikut seleksi, dari 60-an orang hanya dibutuhkan 20 orang untuk dikirim ke STKIP Surya. Akhirnya saya lulus seleksi dan bisa melanjutkan studi di STKIP Surya. Dengan mengikuti matrikulasi selama satu tahun dan lebih banyak belajar matematika, saya mengambil jurusan matematika untuk menjadi seorang guru matematika. Mengingat kembali apa yang di ucapkan guru saya di SMP bahwa saya harus terus semangat belajar untuk mendapat nilai matematika yang baik dan juga orangtua yang membimbing saya pada saat SD. Saya ingin menjadi guru matematika untuk mendidik orang lain dan juga bisa memberikan tantangan bagi siswa yang akan saya didik pada akhirnya.

Selama saya menempuh studi di kupang khususnya dalam mata pelajaran matematika, saya belum  pernah menemukan suatu metode pambelajaran yang baik. Secara intelektual, saya belum mampu untuk menerapkan apa yang sudah saya pelajari karena tidak mempunyai suatu metode pembelajaran yang baik. Tetapi setelah saya melanjutkan studi  di STKIP Surya, saya mendapatkan suatu metode pembelajaran yang baik dimana dalam pembelajaran Matematika khususnya harus dimulai dari tahap konkrit ke tahap abstrak dan dilanjutkan dengan mencongak. Metode tersebut adalah metode GASING (Gampang, AsyIk, dan menyenaNGkan) yang ditemukan oleh bapak Profesor Yohanes Surya, Ph.D. Dengan metode pembelajaran yang ditemukan yaitu GASING sangat membantu saya untuk berusaha menjadi seorang guru matematika kelak.

“Tidak Ada Anak yang Bodoh, Yang Ada Hanya Belum Mendapat Kesempatan Belajar dengan Guru dan Metode yang Baik” 

Garis Singgung Lingkaran

yantinenobahan.blogspot.com

Garis Singgung Lingkaran

Review gradien dan garis lurus

Sebelum lanjut pada materi garis singgung lingkaran, apakah anda masih ingat dengan pengertian istilah-istilah berikut ini:

-gradien

-persamaan garis lurus

-garis singgung

Gradien

Gradien adalah ukuran besarnya kemiringan suatu garis terhadap garis mendatar. Besar gradien merupakan besar perubahan panjang vertikal tiap satuan perubahan panjang mendatar. Umumnya, gradien dilambangkan dengan m. Tentukan gradien dari beberapa garis dibawah ini:

b

d

e

a

c

f

h

i

g

j

k

y

(x2, y2)

(x1, y1)

x

Gradien garis yang melalui titik(x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Contoh

1. Tentukan gradient garis yang melalui

a. (3, 1) dan (4, 4)

b. (-2, -5) dan (8, -7)

Jawab

a. gradient  

b. gradient  

Garis Lurus

Sebelum masuk ke materi garis singgung, kita akan mengulang sepintas tentang garis lurus dan aljabar.

Persamaan umum garis lurus :ax + by + c = 0  atau  y = mx + n

a,b,c adalah konstanta

m adalah kemiringan garis

n adalah koordinat y ketika x = 0

Persamaan Garis Singgung

Dengan rearrange persamaan untuk gradien diatas dan subtitution y = y_2, x = x₂, maka akan diperoleh persamaan garis singgung, gradien m dan melalui titik (x₁, y₁) sebagai berikut

y = m(x - x₁) + y₁ atau y = mx + y₁- mx₁

Contoh

1.Tentukan persamaan garis singgung sebagai berikut:

a. melalui titik (2,-3) dan bergradien 2.

b. melalui titik (-1, 1) dan bergradien -3.

Jawab

a. y = 2x – 3 +4

    y = 2x + 1

b. y = -3x + 1 - 3

    y = -3x - 2

Apabila hanya diketahui dua titik yang dilalui garis misal (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Gradien yang melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Subtitusi persamaan gradien ini ke persamaan garis lurus, sehingga diperoleh

Contoh

2.Tentukan persamaan garis singgung sebagai berikut:

     a. melalui titik (2,-3) dan (1,-4).

     b. melalui titik (-1, 1) dan (-3,-3).

Jawab

a.

   

     

b.  

     

Latihan

1. Membuat sketsa garis lurus

a. Buatlah sketsa garis lurus 2x + 4y = 4

b. Buatlah sketsa garis lurus 2x +  4y = 5

c. Buatlah sketsa garis lurus 2x +  4y = 8

d. Buatlah sketsa garis lurus 2x - y = 6

e. Buatlah sketsa garis lurus 3x -  2y = 12

2. Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini

     a. y = 2x + 5           ( m = 2 )

     b. y = 4x + 4           ( m = 4 )

     c. y = -5x + 15        ( m = -5 )

     d. y = -2/3x – 20     ( m = -2/3 )

     e. y = -2/5x – 25     ( m = -2/5 )

2. Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini

     a. 2x - 3y + 5 = 0     (y = 2/3 x + 5 ) m = 2/3

     b. 2x + 6y + 5 = 0   ( m = -1/3 )

     c. 4x - 2y + 7 = 0

     d. 3x - 6y + 8 = 0

     e. 2x - 8y + 11 = 0

2. Tentukanlah gradien garis lurus yang melalui dua titik berikut ini

     a. melalui titik (-3, 2) dan titik (-3, 2)

     b. melalui titik (1, -3) dan titik (3, 5)

     c. melalui titik (6, -10) dan titik (-4, -5)

     d. melalui titik (-1, -3) dan titik (-2, 2)

     e. melalui titik (-3, -1) dan titik (-7, 7)

3. Tentukanlah persamaan garis lurus berikut ini

     a. melalui titik (1, -3) dan bergradien 1

     b. melalui titik (2, 2) dan bergradien -2

     c. melalui titik (-3, 4) dan bergradien 2/3

     d. melalui titik (5, -2) dan bergradien 3/4

     e. melalui titiik (10, -6) dan bergradien -4

4. Tentukanlah persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis

     a. 3x + 4y - 6 = 0 pada titik (10,5)

     b. 3x + y + 8 = 0

     c. x + 4y - 10 = 0

     d. 3x + 2y + 9 = 0

     e. x - 2y - 5 = 0

5. Tentukanlah persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis

     a. 3x - 4y - 10 = 0

     b. 3x -  y - 16 = 0

     c. 3x + 2y - 8 = 0                pada titik (10,5)

     d. x + 4y - 9 = 0

    e. x - 4y - 12 = 0

Review aljabar

6. Sederhanakan!

a. a + b + 2a + 3b -4a + a  =….

b. 5x + 2y - 6x + y -3x + 4y  =….

c. 2a² + b³ + 2a² + 3b³ –a² + 3b²  =….

d. 3ab – 2ac + 4ab + 3ac -6ab + 10ac  =….

e. 6abc – 2acd - 10abc + 3acd + 5abc - 12acd  =….

f. 10xyz – 5xym – 10xyz + 7xym - 15xyz – 2xym  =….

7. Sederhanakan!

a. 3a²b – 2ac² + 4a²b + 3ac² -6a²b + 10ac²  =….

b. 6xy² + 2x³z - 6xy² + 10x³z -3xy² =…

c. 11pq² + 7p³r – 6pq² - 12p³r -3pq² =…

d. 4m³n⁴ + 13 m²n⁴ – 3 m³n⁴ - 12 m²n⁴ -6 m³n⁴ =…

e. 4m³n⁴ + 13 m²n⁴ – 3 m³n⁴ - 12 m²n⁴ -6 m³n⁴ =…

f. 25x²y³z – 15xy²z³ – 10x²y³z + 17xy²z³ - 15x²y³z – 18xy²z³ =….

8. Isilah titik-titik dibawah ini!

a. (a + b)²  =….

b. (a - b)²  =….

c. (p + q)²  =….

d. (p - q)²  =….

e. (x + y)²  =….

f. (x - y)²  =….

9. Isilah titik-titik dibawah ini!

a. (2a + 3b)²  =….

b. (2a - 4b)²  =….

c. (3m + 2n)²  =….

d. (4p - q)²  =….

e. (x + 3y)²  =….

f. (x - 5y)²  =….

10. Isilah titik-titik dibawah ini!

a. (a + b)³  =….

b. (a - b)³  =….

c. (m + n)³  =….

d. (p - q)³  =….

e. (x + y)³  =….

f. (x - y)³  =….

Diketahui Gradien Garis Singgung

Apabila diketahui gradien garis singgungnya misalnya m, maka akan ada dua persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (0, 0)

O (0, 0)

x

y

m

m

 

Persamaan garis singgung tersebut dapat dicari sebagai berikut:

Persamaan garis singgung:  y = mx + n

Persamaan lingkaran:  x² + y² = r²

Substitusikan y = mx + n kedalam  x² + y² = r²

x² + (mx + n)² = r²

x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0

(1+ m²)x² + 2mnx + n² - r² = 0

kasus menyinggung berarti D = 0

b² - 4ac = 0

(2mn)² - 4 (1 + m²)(n² - r²) = 0

4m²n² - 4(n² - r² + m²n² - m²r²) = 0

m²n² - n² + r² - m²n² + m²r² = 0

-n² + r² + m²r² = 0

n² = r² + m²r²

Maka persamaan garis singgungnya:

Apabila lingkarannya berpusat di (a, b):

 (x - a)² + (y - b)² = r²

maka persamaan garis singgungnya:

Diketahui Titik Singgung Pada Lingkaran

Garis yang melalui titik (x₁,y₁) dan menyinggung lingkaran yang  berpusat di titik O

P (x1, y1)

O (0, 0)

l

x

y

 

Dari gambar diatas tampak bahwa garis OP dan garis l saling tegak lurus.

misal m₁ adalah gradient garis OP:

dan m₂ adalah gradient garis l maka

                                                  

Persamaan garis singgungnya:

Dengan cara yang sama seperti cara diatas maka garis singgung melalui titik (x₁, y₁) dan menyinggung lingkaran yang  berpusat di titik (a, b)

  ( tugas : jabarkan / buktikan)

Cara lain menurunkan persamaan garis singgung yang malalui titik (x₁, y₁) pada lingkaran:

Persamaan garis singgung: y = m(x - x₁) + y₁

Persamaan Lingkarang : x² + y² = r²

Gabungan kedua persamaan ini adalah

 

Syarat bersinggungan: D = 0

b² - 4ac = 0

Persamaan garis singgungnya:

Contoh-contoh soal

1. Tunjukkan bahwa titik P (6,-8) terletak pada lingkaran x² + y² = 100

Jawab

Titik P (6,-8) berarti x = 6 dan y = -8 kemudian substitusikan ke x² + y²

6² + (-8)² = 36 + 64 = 100 karena hasilnya 100 berarti titik P terletak pada lingkaran

2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A (0, -10) pada lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 36

Jawab

Titik A (0, -10) berarti x₁ = 0 dan y₁ = -10

Persamaan lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 36

Persamaan garis singgungnya:  

(x - 3) (x₁ - 3) + (y + 5) (y₁ + 5) = 36

(x - 3) (0 - 3) + (y + 5) (-10 + 5) = 36

-3(x - 3) -5(y + 5) = 36                                                                                                     

-3x + 9 - 5y - 25 - 36 = 0

3x + 5y + 42 = 0

3.  Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (2, 1) pada lingkaran x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0

Jawab

P (2, 1) berarti x₁ = 2 dan y₁ = 1

Persamaan lingkaran: x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0

Persamaan garis singgung:

4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient -2 pada lingkaran x² + y² = 16!

Jawab

m = -2, r = 4

persamaan garis singgung:

Jadi persamaan garis singgung lingkaran:

5. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 3 pada lingkaran (x + 2)² + (y - 3)² = 25!

Jawab

m = 3, r = 5, a = -2, b = 3

persamaan garis singgung :

 

6. Tentukan persamaan garis singgung  pada lingkaran (x - 4)² + (y + 5)² = 36 dan tegak lurus dengan garis ½x – y = 10!

Jawab

Garis ½x – y = 10 memiliki gradient m₁ = ½

karena tegak lurus  maka

m₁× m₂ = -1

1/2 × m₂ = -1

m₂ = -2

jadi gradien garis singgung yang kita cari adalah -2.

a = 4, b = -5, r = 6

Latihan

X2 + y2 = 25          contoh x.x + y.y = 25      bagian ( a) 3.x + 4.y = 25 3x + 4y = 25

a.       3x + 4y = 25 b.      -3x + 4y = 25 c.

1.     Tentukan persamaan garis singgung  lingkaran x² + y² = 25 yang melalui titik

a. (3, 4)                                                                                                               

b. (-3, 4)

c. (2, )

d. ( , -2)

e. (- , -1)

2.     Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 36 yang melalui titik

a. (2, -5+ )

b. (2, -5- )

c. (3+ , -1)

d. (3- , -1)

e. (3, 1)

3.     Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0 yang melalui titik

a. (2, 1)

b. (2, -5)

c. (4, -1)

d. (-2, -1)

e. (1, )

4.     Tentukan persamaan garis singgung  lingkaran x² + y² = 16 yang memiliki gradien

a. m = 3

b. m = -2

c. m = 3

d. m = 3/4

e. m = -1/2

5.     Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)² + (y - 3)² = 25 dengan gradien

a. m = 3

b. m = 5

c. m = -3

d. m = 3/5

e. m = -1/4

6.     Tentukan persamaan garis singgung  pada lingkaran (x - 4)² + (y + 5)² = 36 dan sejajar dengan garis

a. 2x –8y = 6

b. x – 3y = 8

c. 2x + 5y = 10

d. 6x – 3y = 18

e.4x + 5y = 20

7.     Tentukan persamaan garis singgung  pada lingkaran (x - 4)² + (y + 5)² = 36 dan tegak lurus dengan garis

a. 15x –5y = 7

b. 4x – 2y = 3

c. 2x – y = 5                                        

d. 3x –2y = 10

e. 6x –3y = 5

8.     Persamaan garis singgung x² + y² + 10x - 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9, 1) adalah…

9.     Tentukanlah jarak terdekat titik (6, 10) ke lingkaran  x² + y²  = 25 !

10.   Tentukanlah jarak terdekat titik (2, 3) ke lingkaran  x² + y²  = 25 !

11.   Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, -8) ke lingkaran  x² + y² + 4x -2y - 16 = 0 !

12.   Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, 4) ke lingkaran  x² + y² + 4x -2y - 16 = 0 !

13.   Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 13 yang memiliki berabsis -1 adalah….

14.   Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² -2x + 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x - y = 0  adalah…

15.   Garis singgung lingkaran dititik (2,-5) pada lingkaran x² + y² =169 menyinggung lingkaran lain yang memiliki persamaaan   (x - 5)² + (y - 12)² = p. Tentukanlah nilai p !

16.   Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,1) dan menyinggung garis 3x + 4 y + 7 = 0 !